Laplace transform

라플라스를 쓰는 이유!!

 

Laplace transform

- Nonhomogeneous ODE의 특수해를 구하기 위해 변환하여 해를 구하는 방법

Laplace transform

f(t) : 시간 t 영역에서의 함수 => F(s) : 복소수 s 영역에서의 함수

f(t)	F(s)
1	1/s
t^n	n!/s^(n+1)
e^at	1/(s-a)
coswt	s/(s^2 + w^2)
sinwt	w/(s^2 + w^2)
coshwt	s/(s^2 - w^2)
sinhwt	w/(s^2 - w^2)
e^(-at) coswt	(s+a)/((s+a)^2+w^2)
e^(-at) sinwt	w/((s+a)^2+w^2)

마지막 두가지는 제 1 이동 정리이다.

제 1 이동 정리

미분 함수에 대한 Laplace transform

미분 함수에 대한 Laplace transform

이와 같이 f(t)의 미분계수 n에 따라 s의 지수계수 또한 n으로 뒤의 식 또한 - s^(n-1)f(0) - s^(n-2)f'(0) - .....가 된다.

 

Inverse Laplace transform

Laplace transform의 역과정

Inverse Laplace transform 더

 

부분 분수로의 변환

다음과 같이 F(s)식을 부분 분수로 바꾸어 변환을 쉽게하는 방법으로 f(t) = A + Be^(t-1)가 된다!!

- 전체에 s, 혹은 s+1을 곱한 후 s=0, s=-1을 대입하며 A, B를 구하며 Inverse Laplace transform으로 쉽게 변환

 

이제 Laplace와 Inverse Laplace를 하는 방법을 알았으니 문제들을 풀어보자!!