중간 정리

복소수
오일러 공식 e^θj = cosθ + jsinθ
오일러 공식을 이용한 복소수 표현 x + jy = (x^2 + y^2)^(1/2) * e^jactan(y/x)

n차 미분방정식
1) y'(x) = f(x) : 적분
2) y'(x) = f(x)y(x) : y(x)를 반대편으로 넘긴 후 적분
3) g(y)y' = f(x) : y를 dy/dx로 변환 후 전체 적분
4) y' = f(y/x)와 같이 분리 불가능 : y/x와 같이 치환 적분
5) exact differential equation : P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0일 때 P d/dy = Q d/dx가 성립
6) 성형 상미분 방정식 : y' + P(x)y = Q(x)일 때 적분인자u를 양변에 곱하여 식을 간단하게 변환
7) non-eaxt equation : 5에서의 식이 성립하지 않는 경우로 적분인자 u(x) 혹은 u(y)를 양변에 곱하여 exact equation이 성립되도록 만드는 방법

Homogeneous linear ODE(Ordinary Differential Equation) : y' + p(x)y = 0
Non-homogeneous는 그와 달리 y' + p(x)y = r(x)와 같다.
여기서 나온 해들 중 y1 = x, y2 = 3x, y3 = 5x는 종속 그러나 y4 = x+1과는 독립

y = yh + yp로 y식에 대한 homogeneous와 nonhomogeneous의 두 해의 합이 y의 해이다.
homogeneous
ay'' + by' + cy = 0의 해의 형테 y = e^kx -> (ak^2 + bk + c)e^kx = 0으로 homogeneous에 대한 해가 나옴 (해가 중복시 x를 곱함)
nonhomogeneous
ay'' + by' + cy = r(x) 중 r(x)만 보며 e^-tx라면 yp = ce^-tx로 두고 y', y''까지 미분 후 ay'' + by' + cy = r(x)에 대입 후 c값을 확인하여 특수해를 구함(t는 상수)
이용가능한 r(x)의 형태로 e^ax, sinx, cosx, sinx*e^ax, cosx*e^ax, x에 대한 다항식 정도가 있으며 그외는 다른 방식으로 풀어야함.

mass-spring-damper-system
앞서한 미분방정식과 같은 형태로 my''(t) + cy'(t) + ky(t) = r(t)의 식을 가진다.
m = 질량, c = 저항력, k = 스프링탄성계수, r(t) = 외력

Reduction of order : 2차 상수 계수 2차 미분 방정식 ay'' + by' + cy = 0에서 y1에 대한 값을 가지고 있는 경우 y2를 쉽게 구하는 방법
1. y2 = y1 * u     2. u = ∫U dx      3. U = 1/(y1^2) exp[-∫p(x) dx]        p(x) = b/a

Euler-Cauchy equation
x^2y'' + bxy' + cy = r(x)인 경우 homogeneous 해의 형태는 y = x^m와 같이 달라짐
nonhomogeneous를 이용한 특수해의 경우 yp(x) = -y1(x)∫(y2(x)r(x))/w dx + y2(x)∫(y1(x)r(x))/w dx로 구함(w = y1y2' - y1'y2)

상태 공간 모델
y''' + 4y'' + 6y' + 4y = 0  y = y1, y' = y1' = y2, y'' = y2' = y3, y''' = y3'
y3' + 4y3 + 6y2 + 4y1 = 0 따라서 y1' =y2, y2'=y3, y3' = -4y1 - 6y2 -4y3 식 3개가 나온다
| y1'|    |  0  1  0  | |y1|
| y2'| = |  0  0  1  | |y2|
| y3'|    | -4 -6 -4  | |y3|

중간고사 후
 정직하게 교수님께서 집어주신 문제들이 나왔다. 그러나 변형이 꽤나 많이 되어 나와 문제를 한 번에 풀지 못하고 여러번 시도며 풀어내었다. 이번 중간고사에서 나온 RLC회로에 대한 실수를 제하고 모두 맞추긴 하였으나 이번 시험을 통해 변형문제에 대한 취약점이 확연히 들어났다.

이를 보완하기 위하여 GPT와 같은 AI를 이용하거나 스스로 문제를 변형하여 풀어보며 문제풀이에 대한 다향성을 넓혀가며 공부하는 편이 좋다고 생각하였다. 또한 주차가 뒤로 갈 수록 예습도 못하고 수업만 겨우따라 가는 경우가 있었으니 미리미리 복습 후 변형문제를 빠르게 풀어가며 뒤쳐지지 않도록 조심해야한다.